双曲函数和三角函数有什么关系？如何从度规的不变性导出洛伦兹变换？7月10日12点，《张朝阳物理教程》第七十期上线。搜狐创始人、董事长兼CEO张朝阳坐在搜狐视频直播间里。他首先论证了传统牛顿的绝对时间空概念会导致粒子运动速度无限大，速度有上限的要求会破坏绝对时间空概念。当速度有上限时，张朝阳给出不变表达式，要求在坐标变换下不变。利用虚数单位和三角函数与双曲函数的关系，得到了保持度量不变的坐标变换公式。最后，通过一个坐标系运动的特例，将坐标变换中的参数φ改为坐标系中的相对运动速度U，导出洛伦兹变换。
为了计算和演示方便，本课只讨论X在1维时间T和1维空之间的情况。在牛顿的时代和人们的日常生活中，使用了传统的绝对时间空的概念，即时间和空是相互独立的，这就产生了速度叠加原理，即将原来质点的速度直接叠加在参考系之间的相对速度上，得到该质点在其他参考系中的速度，这样质点的速度就没有上限了。现在假设一个质点的速度有上限α，传统的绝对时间空观就会出现问题，需要一个新的时间空观来代替。
一个以最大速度α运动的质点在其他所有参考系中的速度都是α，所以通过分析一个速度为α的质点在不同参考系中的运动，可以找到一个在time 空变换下的不变量。接下来，我们需要求解保持不变表达式不变的坐标变换。一是仅考虑不变量小于零的情况，使用虚数单位I，类比处理坐标系旋转时选取角度和模长表示直角坐标的方法，引入新的参数θ'表示原坐标。
在分析了θ′是纯虚数后，将其写成iθ的形式，并利用三角函数和双曲函数的关系，用纯实双曲函数表示坐标αt和x。因为不变量的值与θ无关，把θ换成另一个角度θ+φ就可以得到所需的坐标变换。进一步利用双曲函数的性质，通过消去θ可以得到新坐标与原坐标的线性变换关系，将线性变换写成矩阵形式也可以得到线性变换的矩阵表示。根据不变表达式，可以得到该度量的矩阵表示，并利用矩阵乘法验证该度量在线性变换下是不变的。
要推导上述部分数学化，还需要将变换参数与实际物理联系起来。设S '系统相对于S系统以速度U向X的正方向运动，当两个系统的时间为零时，它们的空原点重合。通过考察S '系统原点与两个系统坐标的关系，可以得到变换参数φ与坐标系相对运动速度U的关系，得到用坐标系相对速度U表示的坐标变换公式，即洛伦兹变换。但当α =∞时，相当于速度没有上限的情况，又回到了伽利略变换，也就是传统的时间空观。从变换公式中可以清楚地看出，时间是独立的。
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(责任编辑:谭)
