那么，为什么康托定理与理发师悖论一个是定理，一个是悖论呢？
理发师悖论却用日常语言的“有”模糊了科学语言的“存在”。“存在”换成“有”以后，就不知不觉从假设变成了天经地义，于是矛盾无法解释，成了“悖论”。可见，我们在前面把“有”换回成“存在”，确实不是文字游戏。理发师悖论的问题确实出在存在性上。
但说“换回”对吗？谁先谁后呢？
康托定理（1895），理发师悖论（1907），康托在先。因此，说“换回”是对的。
康托深刻地证明了，不存在这样一个古怪的理发师。12年后，理发师悖论全盘照收了康托的推理过程，却模糊了康托的存在性假设，致使矛盾无法解释，造成“悖论”。
这不像个恶作剧吗？
读者可能知道罗素悖论，听说过“理发师悖论是罗素悖论的通俗版”的说法。如上所述，理发师悖论几乎是对康托定理的一个恶作剧。那么罗素悖论呢？
这个问题留给读者追踪、思考最好。但急于知道答案是人类的优良天性，所以也简单说明一下：罗素悖论（1902）显然受到了康托定理的启发，但它与理发师悖论有很大的不同。它的假设隐蔽得多，以致当时的集合论无法察觉。当然该假设最终还是被后来的集合论彻底破解了，所以罗素悖论早已不再是悖论了。但罗素悖论极大地刺激了当时的集合论，对集合论的进步有重大的意义。
【后记】其实，像理发师悖论这样易于破解的“悖论”可以要多少有多少，都是对康托定理的恶作剧。比如“恰爱那些不爱自己的人”，“恰恨那些不恨自己的人”，“恰表扬那些不表扬自己的人”，“恰批评那些不批评自己的人”，“恰修理那些不修理自己的机器人”，“恰引用那些不引用自己的书”，等等等等。理发作为这些“反身及物动词”中的一个只是特别生动形象罢了。
文兰（1946-），1969年毕业于北京大学数学力学系，1981年在北京大学获得硕士学位，导师为廖山涛先生。1986年在美国西北大学获得博士学位，导师为 R. Williams教授。1988-1990年在北京大学从事博士后研究，后留校任教。文兰主要从事微分动力系统方面的研究，在不可逆系统C1封闭引理、C1连接引理、流的稳定性猜测、星号流问题、Palis稠密性猜测等动力系统的若干基本问题上做出重要贡献；1997年获陈省身数学奖，1999年当选为中国科学院院士，2005年当选为第三世界科学院院士，2011年获华罗庚数学奖。
本文根据文兰院士在双流棠湖中学所做公众报告整理成文。原文发表于《数学通报》2011年第12期，原标题为《康托定理与理发师悖论》。
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