首先，首先找到特解。
接下来，求Ax=0的解。A的秩是2，因此我们可以找到2(4 - 2=2)个独立解。
通解是特解加上Ax=0解的任何线性组合。
图形上，这是二维示例的上面的虚线。下面的等式是我们的例子的通解，其中cᵢ是常数。
正交和子空间
如果两个向量的内积⟨x ， y⟩等于零，则它们是正交的。
如果它们是二维或三维向量，则它们可以被视觉化为彼此垂直。
如果正交向量有单位长度，它们叫做标准正交。如果来自每个子空间的任何向量总是彼此正交，则两个子空间彼此正交。在3-D空间中，x轴和y轴是彼此正交的两个子空间。然而，并非所有垂直于x轴的向量都属于y轴。它可以是yz平面上的任何向量。如果垂直于一个子空间的任何向量必须属于另一个子空间，则一个子空间与另一个子空间正交。组合来自每个子空间的一个向量重建Rⁿ空间。如果一个子空间正交补的维数是k，那么另一个子空间的维数一定是n - k。
列空间，行空间，零空间和左零空间从m×n矩阵A形成四个基本子空间。
- 列空间：C（A）
- 行空间：C（Aᵀ）
- 零空间：N（A）
- 左零空间：N（Aᵀ）
这些子空间的关系是：
- 列空间和行空间具有相同的维度和秩。
- A的秩(r)等于列空间和行空间的秩。
- 行空间是零空间的正交补(⊥)。
- 列空间是左零空间的正交补(⊥)。
- 行空间有r维，零空间有n - r维。
- 列空间有r维，左零空间有m - r维。
在求解Ax=b的x时，如果b不在A的列空间中，它是不可解的，Ax=b的特解在行空间中。Ax=0的解在零空间中。通解是通过在零空间中加入特解和任何解的线性组合而得到的。
机器学习与线性代数简明教程(下)
