如果一个矩阵是可逆的，它的逆是唯一的。将会有一个解x = A⁻¹b。然而，在方形矩阵中，如果列/行是线性相关的，则矩阵是奇异的且不可逆的。矩阵A的秩(通常对于任何矩阵)可以帮助我们确定线性依赖关系以及是否有唯一解。下图展示了如何用矩阵形式表示线性方程组及其解的个数。
如果b不在A的列空间中，则解为零，即A中的列的线性组合不能达到b。
高斯消元和回代（back substitution）
如前所述，我们很少计算A的逆来解出Ax=b。 一种最常见的方法是高斯消元和回代。 许多人已经知道如何通过这种方法求解线性方程。 所以我会快速介绍一下并介绍一些关键术语。 要解
我们应用消去来为x 1列中的第2行和第3行创建前导零。一旦我们消去了x 1 列，我们重复x 2和x 3的过程。
该矩阵A可以被消去为具有非零前导值的两行。 这两个非零值称为pivots。
矩阵的秩等于pivots的个数。（在消去之后，我们只留下两个有意义的方程。）如果n×n矩阵具有小于n个pivots，则矩阵是奇异的。最下面一行的所为零，不包括b列。
列中一个pivot对应的变量称为主元。其他的变量叫做自由变量，它可以取无穷多个值。在上面的例子中,我们有两个主元(x₁,x₂)和一个自由变量x₃。在消去步骤之后，与变量x相关联的矩阵形成上三角矩阵。
为了解Ax = b，我们执行回代。从最下面一行开始，每次解析一个变量。
如果我们将自由变量x 3设置为0 ，那么将有一个特解
让我们用pivots解另一个例子。在行消去之后，我们使用b列中的非零值来设置这些主元，然后将所有自由变量设置为0。这就变成了x的解。
考虑Ax = b，其中A是m×n矩阵，其中秩为r，x具有n个分量。行消去后，排除列b，矩阵将具有m - r全零行。
如果任何所有零行有b≠0,则它没有解，我们不能在上图中得出0=2的结论，线性方程彼此冲突。如果秩r小于n, x张成n - r维。换句话说，如果我们有r个线性无关方程来解x中的n个变量，只要方程中没有冲突x就有n - r个自由度。
