引力场理论
因为爱因斯坦是在不知道黎曼工作的情况下表述这一物理原理的，所以他没有用数学的语言来表述他的原理。从1912年到1915年，爱因斯坦用了3年时光，奋力研究一种足以表达他的原理的强有力的数学表述。爱因斯坦寻求他的数学家密友格罗斯曼的帮助。幸运的是，格罗斯曼偶然发现了黎曼的著作。格罗斯曼给爱因斯坦看了黎曼的研究和黎曼度规张量。
使爱因斯坦震惊的是，他发现黎曼1854年关于“几何基础”的著名演讲是解决问题的关键。他发现自己能用黎曼的理论重新表述他的原理。对黎曼1854年演讲重新作出的物理解释，现在称为广义相对论，而爱因斯坦的场方程则属科学史上最深刻的思想之一。
黎曼的伟大贡献是他引入了度规张量的概念，一种定义在空间各点的场。度规张量不是一个单一的数字。在空间的每一点，度规张量都是由10个数字组成的数组。爱因斯坦的想法是跟从麦克斯韦的思想，建立引力场理论。他寻找一种场来描述引力，这一目标实际上在黎曼演讲的第一页上就可以找到。事实上，黎曼度规张量就是描述引力的法拉第场。
回顾一下，我们现在看到在爱因斯坦之前60年，黎曼是多么接近于发现了引力理论。整个的数学方法在1854年已经足够了。黎曼的方程完全有能力描述任意维中最复杂的时空扭曲。然而，他缺乏物理绘景（质能决定时空曲率），也缺乏爱因斯坦所具有的深刻的物理洞察力。
奇妙的超维空间
生活在超球面（四维球面）提供的弯曲空间，如果我们朝前看，光将绕超球面的小圆周完整地转一周，回到我们的眼中。于是我们将看到，某人背对着我们站在我们的前面，穿着与我们一样的衣服。
这个人是一个由镜子产生的假象吗？为了查明此事，我们伸出自己的手，放在此人的肩上。我们发现，在我们前面的这个人是一个真正的人而不是假象。事实上，如果我们向远处看，我们会看见无数完全相同的人，每个人都面向前面，每一个人的手都放在他前面那个人的肩上。
最使人感到震惊的是，我们感觉到某人的手从后面悄然伸来抓住我们的肩膀。使人惊骇的是，当我们向后看时，我们看到身后也有无数完全相同的人，他们也把脸转到了另一边。
在我们前面的人，其实就是我们自己。我们在叮着我们自己的后脑勺。把我们的手放在我们前面，我们实际上是把我们的手绕着超球面伸出去，直到把它放到我们自己的肩上。
超球面中可能发生的违背直觉的事情，在物理学上是很有趣的。因为，许多宇宙学家认为我们宇宙实际上是一个巨大的超球面。还存在着另一些同样奇特的拓扑结构，如超环面和默比乌斯带。虽然它们最终可能没有实际应用，却有助于阐明生活在超维空间中的许多特征。
例如，让我们假设我们正生活在超环面上。如果我们向左右观看，我们将大为惊讶地看到，在我们的左右都各有一个人。光环绕着较大的环面圆周整整一周，重新回到它的出发点。因此，如果我们扭转脑袋向左看，我们就会看到某人身体的右边。把我们的脑袋转向右边，我们看到某人身休的左边。无论我们的脑袋转得有多快，在我们前面和我们两边的人的脑袋正好也转得这么快，以至于我们从来不能看到他的脸。
现在设想把我们的胳膊伸向两边。在我们左右两边的人也将伸出他们的胳膊。事实上，如果你靠得很近，你就能拉住左边那个人的右手和右边那个人的左手。如果你仔细地看着任何一个方向，你能看到一条无穷长的手拉手的人的直线。如果你朝前看，就会有另一条在你前面的人组成的无穷序列，他们排成一条直线，全都手拉着手。
实际上发生了什么呢？实际上是我们的胳膊很长，从而可以绕过环面，直到胳膊与胳膊相互触及。因此，我们实际上是握住了自己的手。
对于更加奇特的宇宙而言，设想住在一个默比乌斯带上。当一个右撇子二维人绕默比乌斯带走完整整一周时，他发现自己变成了左撇子。
