g(genus)，表示曲面上“洞”的数目，可用于实空间几何体的分类。在固体材料中，基于电子布洛赫波函数在动量空间的贝里(Berry)曲率，可以描述固体能带的几何特性并对其作拓扑分类。Thouless、Kohmoto、Nightingale和den Nijs 4人[2](简称TKNN)发现：在二维量子材料体系中，当哈密顿量连续改变但保持能隙不闭合时，利用久保(Kubo)公式作霍尔电导计算，能得到量子化的值：σyx=νe2/h，ν 被称为TKNN不变量。从几何学视角来看，将二维绝缘体中占据电子态的贝里曲率在整个布里渊区作积分，根据高斯—博内定理，该积分会给出一个量子化的贝里相位：2πC，C即拓扑学中的陈(Chern)数。霍尔电导有正常(外磁场诱导)和反常(磁性引起)两类贡献机制，反常霍尔电导又分为外在的(源自杂质散射)和内禀的(源自贝里曲率)贡献。由此可见，量子化的霍尔电导与量子化的贝里相位同根同源，TKNN不变量即陈数，这也将物理和数学上拓扑的概念统一在一起。
从整数QH效应实验发现至今，已发现相当多的拓扑量子材料和新奇的量子效应(图1)[3]，使拓扑量子物态成为凝聚态物理的研究焦点与前沿。其中，磁性拓扑材料中手性无耗散边缘态可实现低能耗电子器件，拓扑超导体系中则存在马约拉纳零能模，与拓扑量子计算密切相关，它们是拓扑量子物态两个重要的发展方向。
图1 拓扑量子物态领域发展时间表(修改自参考文献[3])。其中，IQHE是整数量子霍尔效应，FQHE是分数量子霍尔效应，QAHE是量子反常霍尔效应，QSHE是量子自旋霍尔效应，TI是拓扑绝缘体，TCI是拓扑晶体绝缘体，WSM是外尔半金属，TNLSM是拓扑节点线半金属，HOTI是高阶拓扑绝缘体，HOTSM是高阶拓扑半金属，TKI是拓扑近藤绝缘体
本文将介绍几类典型的拓扑材料及其相关物理，然后介绍磁性拓扑材料和拓扑超导体这两个与应用相关的重要体系，以期让感兴趣的读者能了解拓扑量子物理领域的研究概况。拓扑量子物理领域蕴含丰富的材料与物性，由于篇幅限制，部分材料和内容文中没有介绍，还请读者谅解。
