这些问题对于我们如何用NS方程来理解周围的物质世界非常重要。但对于数学家来说，他们思考的关于NS方程的问题要更加基本、更加困难：数学家研究的不在于我们能否解出NS方程，而在于而在于它们是否有解。这个问题至今没人能够回答。对于解的存在与否，数学家们各持己见。而可以预见的是，在未来很长一段时间内，NS方程的解的存在性问题都难以得到解决。而解决了这个问题，也就解决了千禧年大奖难题的第六个问题。
我们今天要讲到的最后一个方程有着非常有趣的名字——淋浴方程。这是一个不仅具有数学意义的方程，而且还控制着现实世界中的许多事情。它被应用在气候动力学、激光、厄尔尼诺现象、农业、人口动力学、一般控制理论等领域，是一个值得得到更好的理解的方程。
淋浴方程。
这个方程描述的现象其实非常简单。想象你在洗澡，发现水太冷，于是把旋钮像热水的方向调整——在调整的这一刻，什么也没有发生，因为热水需要一定的时间才能绕过水管。所以你等不及地把水的温度调得越来越高，最后，水终于流过了水管抵达花洒，落到了你的身上——烫！你马上慌忙水温调低，过了一会，冰凉的水落在了你的身上，于是你无奈地继续旋转旋钮调整水温，为了寻找合适的水温而不断调试……这是很多人都经历过的情况，淋浴方程描述的正是这种具有输出延迟的系统。
如果x(t)是淋浴时我们感受到的水温，那么调整旋钮所导致的这个温度的变化发生在时间τ之前，τ代表着一种延迟，在这里表示的是水流过管道所需的时间；λ表示淋浴对旋钮设置的变化做出响应的速度。
淋浴当然是我们生活中重要的一部分，但这个方程的应用意义远远超过了控制淋浴，其中最主要的应用之一或许是在气候动力学研究中的重要性。我们知道，许多气候现象都需要时间才能产生影响。例如，如果我们现在改变排放到大气中的二氧化碳的量，那么我们需要等待一段时间才能看到这种改变对地球温度的实际影响。这种延迟使得预测减少碳排放的影响变得很困难，并且从方程的解来看，有可能会导致不受控制的振荡。
另一个例子是在厄尔尼诺与南方涛动（ENSO）中南太平洋的温度变化，这是一种温度的不规则变化。ENSO是由洋流和大气之间的相互作用引起的，它会改变海洋的温度。这里的延迟是由洋流从南美洲西海岸流到亚洲东海岸，然后再返回所需要的时间造成的。海洋温度的变化随着洋流的流动所需时间而延迟，因此它非常适合用淋浴方程来建模。厄尔尼诺现象是一个可以对局部乃至整个世界的经济造成影响的现象，如果能更好地预测它，那么这将有助于太平洋地区的人能提前为应对作出准备。
这个方程与目前正在全球肆虐的COVID-19疫情也有关联。由于Cov-Sars-2病毒具有一定的潜伏期，在此期间患者不会出现任何症状，导致针对病毒的干预措施都必须等到这段时间之后才会产生效力。这种模型直接衍生出了淋浴方程的疫情版本，也就是常被用来帮助理解和控制流行病的SIR模型。在这个模型中，关键的组成部分是从干预的控制到能被观察到的响应之间的时间延迟，像ENSO系统一样，延迟的存在加剧了事情的不确定性，这也是我们目前所现在面临的问题。
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数学方程的发明或许是人类作为一种智慧生命的最杰出力证之一。我们为桥梁的建设、疾病的传播、原子的运动等一切物质世界的规律寻找可以描述它们的方程。而上述5个方程的实用性在某种程度上极大地改变了我们的世界，而它们其实也只是这些数学瑰宝中的一部分。这些数学方程帮助我们更好地理解周围世界的运作，更好地感受存在于宇宙中的众多难以置信的规律。
