通过傅里叶变换找到的长笛、双簧管、小提琴的不同泛音。
上面这张图显示的是长笛、双簧管和小提琴的泛音，这些都是通过傅里叶变换计算出来的。从图上可以看出，长笛的泛音较少，所以音色比较纯净；反之小提琴拥有大量泛音，因此它的音色也更加丰富。
因此，傅里叶变换就是一种将函数f(t)变换成另一个函数F(ω)的方法；为傅里叶逆变换则能将F(ω)变回f(t)。
除了声音之外，傅里叶变换在信号和图像处理中也起着非常重要的作用。比如在我们试图通过通信信道传输信息时，往往会出现信息失真的情况；又比如我们给一个物体拍照时，照片就会变得模糊。对于产生这种失真与模糊背后的过程，我们已经了解得十分详尽了。
假设f(t)是通过信道的信号，g(τ)是一个导致信号失真的“模糊”函数，这种模糊是信道的一个性质，那么信道的输出h(t)由可以通过下面这个等式得到：
函数h(t)被称为f(t)与g(τ)的卷积，通常被写作为：
卷积积分是很难直接计算的，而且直接计算需要耗费大量的计算时间。然而，傅里叶变换为这个等式提供了一个简单的表达式：
这个结果被称为卷积定理，这是一个无论你怎样强调它对现代电信的重要性都不过分的等式。它为计算h(t)提供了一个直观有效的方法：先找到f(t)和g(t)的傅里叶变换，将它们相乘，然后通过傅里叶逆变化变换，就能得到h。
此外，如果已知的是接收到的信号h(t)，想要找出f(t)，那么可以先对h进行傅里叶变换，然后除以g(t)的傅里叶变换，再运用傅里叶逆变换，就能找到f(t)。举例来说，你有一张模糊的照片，函数h(t)代表的是模糊照片的强度水平，那么f(t)则是原始的不模糊的照片的强度水平。因此，通过刚才提到的过程，就能将模糊的照片恢复成清晰的样子。
用傅里叶变化恢复模糊照片的示例。| 图片来源：Chris Budd
不过在实践应用中，我们考虑的因素会比这个简单的方程要多一些，因为h(t)也会受到噪声的影响。但尽管如此，傅里叶变换仍是许多用来消除信号失真的方法的核心。而能够快速地进行傅里叶变化，成为了后来的核磁共振成像、CAT扫描等现代技术发展的前提。可以说，傅里叶变换不仅改变了电信行业，还掀起了一场现代数字革命。
19世纪，法国机械工程师克劳德-路易·纳维（Claude-Louis Navier）和英国数学家乔治·斯托克斯（George Stokes）推导出了一组描述流体的方程，它们被称为纳维-斯托克斯方程方程（NS方程）。在某种程度上，它们被视为是牛顿运动定律的延伸。这组方程看起来或许很复杂，但它们与我们有着千丝万缕的联系，几乎无时无刻地出现在我们生活中，比如天气和气候。
