那么 det(A-λI)=0 就可以写为：
求解这个方程就可以得到λ的值。一般说来，对于一个n×n的矩阵来说，与其对应的det(A-λI)=0有n个解。
那么这一切与振动膜有什么关系呢？如果求得的λ是实数，那么意味着振动会减弱并消失；如果λ是复数，就意味着系统会产生振荡。
对于一个n×n的矩阵，行列式会是一个n次多项式，精确求解n次多项式是非常困难的事。因此，即使用最快的计算机来求解矩阵的本征值方程也非易事。目前最好的算法叫QR算法，但它也有速度慢且难以使用的问题。
然而，求解矩阵本征值方程是非常有必要的，通过它我们不仅能知道一座悬索桥的共振频率，还能计算出分子的振动频率。它的应用非常多变，以量子力学中的薛定谔方程为例：
薛定谔方程。
我们知道，求解薛定谔方程能找到描述量子力学系统状态的波函数，这几乎意味着我们想知道的一切。但它非常难以求解，然而在计算机程序中，这个方程就可以变成离散的本征值方程。因此，以类似的方式，矩阵本征值方程成为了利用波的一切技术的核心，这些技术包括所有的无线电、电视、雷达、移动电话、WiFi以及音响等。
假如你在听一个交响乐队演奏，你能听出通过声音辨别出演奏的是什么乐吗？再假如你有一张模糊的照片，你能重新创造出原来的未模糊的照片吗?所有这些问题都可以用这组方程来解答：第一个叫傅里叶变换，第二个是傅里叶逆变换。这组成对出现的方程不仅是整个电信行业的核心，它们在数学的大部分领域，物理、化学，以及医学成像等多个领域都至关重要。
傅里叶变换（上）和傅里叶逆变换（下）。
在傅里叶变换中，f(t)是时间函数，F(ω)是频率函数；ω是波的频率，F(ω)表示波的振幅。要如何理解这组成对出现的方程呢？我们还是以交响乐队为例。在乐队演奏一曲乐章的时候，不同的乐器要演奏不同频率的音符。第一个方程可以告诉我们每种乐器演奏的声音有多大，而第二个方程能告诉我们不同的乐器如何组合在一起发出了我们听到的所有声音。
更进一步说，当不同的乐器演奏相同的音符时，听起来却非常不同。其原因在于每个乐器演奏的其实不仅是这个音符本身，还有这个音符的所有泛音。这些泛音的振幅因乐器而异，因此它们听起来也非常不同。
现在，如果我们把一件乐器所演奏的f(t)记录代入第一个方程中，那么函数F(ω)就能告诉我们不同泛音的振幅。如果我们知道一件乐器的不同泛音的振幅，就能重现它的声音。这就是合成器的工作原理。
