并最终得到：
在这个例子中，未知数只有两个，尚且容易解决。但求解这类矩阵方程的难度会随着未知数的增加而迅速增加。当一个矩阵中涉及到的未知数有N个时，求解它的难度会以N³的程度增加。
Ax=b的应用范围远远超出了这个购物例子，从医学成像技术到天气预报，从飞机设计到桥梁建造，不一而足。它是任何涉及到一组大量未知数的问题的中心方程，而我们要做的就是从一组已知的关系来确定这些未知数。
那么究竟应该如何求解方程Ax=b呢？主要的方法有两种。一种是以高斯消元法为例的直接方法，其目标是找到矩阵A的逆矩阵的表达式。高斯消元法是寻找逆矩阵的最优方法之一，它最初出现在公元179年的中国数学巨著《九章算术》，到了1670年被牛顿重新提出，并在1810年由高斯加以完善。高斯消元法至今仍以多种形式被使用，它是用于解决未知数的数量在100000以内的问题的最佳方法之一。
然而这种方法不那么适用于那些未知数数量更大的问题，它的计算所需时间正比于N³，非常耗时且耗费内存。因此对于这类情况，一些更新的方法会是更好的选择，其中以共轭梯度法为代表的迭代方法尤甚。这类迭代方法会先对解作出一个初步猜测，然后通过迭代依次对这个猜测进行改进，直到得到最终解。医学成像等技术就常采用这样一种方法，它的一个显著优点是当我们认为解已经足够好了，就可以在任何时候停止这个过程。因此，迭代方法现在被广泛使用。
除了这两种外，还有多重网格法，这是目前最快最优的方法，但同时也是最复杂的方法。
方程Ax=λx与矩阵的本征值有关。在这个方程中，A可以是一个矩阵，也可以是一个微分算子，而λ和x都是未知的。可以说，这个看似简单又奇特的方程，是所有现代技术、物理、化学和工程的核心。这个方程的一个常被用来寻找的东西就是许多系统的共振模，比如悬索桥、汽车、飞机和体育馆……
本征值方程。
这个方程表示的究竟是什么意思？现在，假设A是一个简单的2×2的矩阵：
那么x和λ分别是什么呢？经过计算，可以得出：
也就是说，λ的可能值是3和2，这两个数字就是矩阵A的本征值；而与本征值对应的向量x则被称为本征向量。
计算一个矩阵的本征值与本征向量的方法其实并不复杂，它只需让矩阵A的本征值λ满足：
这里的det(A)表示的是矩阵A
