空间维度改变了拓扑绝缘体及其边缘电流的性质。如图1所示，二维拓扑绝缘体具有有效的一维导电边缘通道，而三维拓扑绝缘体覆盖有二维导电表面。类似地，四维拓扑绝缘体应该是一种具有鲁棒的三维导电表面体积的不同寻常的材料。此外，不仅是边缘行为，基础物理和拓扑数的定义都取决于系统的空间维度和对称性。[1]
图1. 二维、三维和四维拓扑绝缘体尽管在块体内（紫色）绝缘，但在其边缘或表面（浅灰色）上导电。
这种不寻常的行为由电子能带结构的拓扑造成。在三维和四维系统中，导电表面被描绘为从块体上升起，以同时显示块体和表面。四维拓扑绝缘体显示为沿第四维的几个独立的三维切割。
二、量子霍尔效应
四维拓扑绝缘体的故事始于二维量子霍尔效应，该效应由坐落于德国斯图加特的马克斯·普朗克固体研究所的 Klaus von Klitzing 于1980年发现。这项研究为他赢得了1985年诺贝尔物理学奖。
顾名思义，二维量子霍尔效应（2D quantum Hall effect）本质上是一种二维现象，最早在高质量半导体异质结中移动的有效二维电子气体中被观察到。[1] 在他的开创性实验中，von Klitzing将硅基异质结暴露在低温和向外的强磁场中，然后让电流流过装置，测量其两端的电压以找到霍尔电导。他的发现令人出乎意料：霍尔电导表现为稳定的平台，被 2/ℎ 的整数倍精确量子化，其中是电子电荷，ℎ是普朗克常量。事实上，这种量子化足够的鲁棒和精确，后来成为2019年国际单位制中对千克的新定义的一部分。
图2. 霍尔电导和磁场的关系。
可以看到，霍尔电导表现为稳定的平台，被 2/ℎ 的整数倍精确量子化。| 图片来源：Klaus von Klitzing/1985 Nobel Lecture
1982年，西雅图华盛顿大学的 David Thouless 和他的同事证明，二维量子霍尔效应的起源在于电子能带的拓扑性质。这一认识在一定程度上是 Thouless 获得2016年诺贝尔物理学奖的原因。霍尔电导中的整数与称为第一陈数的二维拓扑数有关，其保证了材料边缘周围存在拓扑电流[1]（见图1）。换句话说，二维量子霍尔系统是现在被称为拓扑绝缘体的一个例子，霍尔电导的鲁棒性是其关键实验特征之一。
方框1：沿着边缘的跳跃
二维量子霍尔边缘电流的起源是什么？经典的情况是，当一个受限于二维运动的带电粒子受到一个向外的磁场B时，会在块体中产生封闭的旋转轨道（深蓝色圆圈），但沿着盒子的边界（浅蓝色箭头）会产生单向跳跃。即使边界变形，这些跳跃的轨道也会沿着磁场的方向继续移动。在量子力学情形下，这种行为转化为拓扑绝缘体特有的绝缘体态能带和鲁棒的导电边缘态。
