[2] 原文为 “Matter tells spacetime how to curve, spacetime tells matter how to move”，by John Wheeler。
[3] 严格来说会差一个因子，但这是无关紧要的。
[4] 重整化是一种消除无穷大的技术。因为物理可观测量一定是有限大的，物理学家无法容忍一个“无穷大”的可观测量，但是量子场论的计算中会出现大量的无穷大，所以他们需要一个系统的方案来从这些无穷大中提取出和实验观测相符的有限量。可以重整化是一个理论“完备性”的基本要求。
[5] 回忆一下，在自然单位制中，所有物理量的量纲都可以转化为能量量纲的幂次——也许你现在能体会到自然单位制的优越性了。
[6] 有效理论的广泛性甚至远远超出量子场论和重整化的范畴，它的存在体现了物理规律随着能量标度分层表现的特点，即处于不同能标处的物理系统有其自身的规律，它们独立演化、互不干扰。固然，从原则上讲低能标处的物理规律可以由高能标处更基本的规律所决定，但当我们不知道高能标处规律的时候一样也可以通过有效理论来描述低能标时候的物理规律并和实验符合得很好。正如在发射火箭时只需要牛顿力学而不用考虑广义相对论，在煮咖啡时只需要热力学而不用考虑组成咖啡分子的夸克之间的量子色动力学一样，很多时候我们只需要考虑有效理论就足够了——它不完备，但是很有效。
[7] 凡事都有例外，作为量子引力的一个热门候选者，圈量子引力理论在一开始就放弃了空间连续性和平滑性的假定，通过保守性地整合量子理论和广义相对论，它能够建立了一套自洽的理论——当然，那是另外一个故事了。在圈量子引力理论中，时空确实是离散化的，时空的最小基本单元大概就是普朗克时间和普朗克尺度。抛弃时空连续性的圈量子引力看起来像是一个怪胎，但，也许它是对的呢？
本文首发于公众号 yubr，原文链接：普朗克尺度和普朗克时间
