复数公式(复数计算和几何证明)
学生在代数课程中学习这部分复数时，一般比较关注复数的代数演算，而不太关注这类数的几何意义及其运算。实际上，复数及其运算的几何解释在数学中起着重要的作用，并广泛应用于物理和力学中。
本次讲座我们将详细讲解复数的几何意义及其四则运算，并用一些有趣的例子来说明如何用复数微积分来证明平面几何问题。
一、复数的几何意义
众所周知，如果在平面上引入一个笛卡尔坐标，那么任何一个复数z=a+bi (a，B为实数)都可以用平面上坐标为(A，B)的点P来表示(图1)。这样，我们就可以建立所有复数与平面上所有点的一一对应关系:每个复数Z都由一个唯一的点P表示，每个
横轴上的点代表实数，所以这个轴叫做实轴。纵坐标轴上的点用bi的形式表示纯虚数，所以这个坐标轴叫虚轴。
平面上一点的位置也可以由径向长度R和与实轴的正夹角来确定。r称为复数的模和Z的振幅角，常用的符号有
如果Z的模和振幅角分别为R和，那么它的实部和虚部将为
所以我们有
下面这个复数的表达式很有用。
注意，当我们谈到Z的振幅角时，我们总是把正半实轴从原来的位置到径向位置逆时针扫过的角度看作是正的，把沿顺时针方向扫过的角度看作是负的。例如，I位于虚轴的上半部分，因此其振幅为，而-i位于虚轴的下半部分，其振幅为
复数的幅度不是唯一的。如果是Z的振幅，那么(n=0，土1，土2，…)也是Z的振幅，当z=0时，振幅角没有意义。
我们知道复数z=a+bi的模是
因此
这里是复数
称为z的共轭复数。
有趣的是位于以原点为圆心，半径为1的圆(单位圆)上的复数。这些复数的模是1，所以它们有一个形式。
我们知道
也就是说，当两个模为1的复数相乘时，只需要将它们的振幅角相加即可。这里，振幅角的作用相当于幂公式中指数x的作用，所以我们用一个标记来表示复数C:
我们有
有了这个记号，任何复数z都可以写成。
而它们的共轭复数在这里只是一个纯粹的标记。
除了平面上的一点，复数Z也可以看作平面上的一个向量:这个向量在实轴和虚轴上的分量分别是A和B，所以它的长度是|z|。在这里，向量的起点是什么完全无关紧要。因此，平面上任意两个向量，只要长度相同，方向相同，就可以表示同一个复数。有无限个向量代表同一个复数。因为这几个向量大小和方向都一样，所以我们把它们看成同一个向量，叫做自由向量。
如果向量Z的起点在坐标原点，那么它的终点就是点Z，以原点为起点的向量称为复数Z的位置向量。
现在我们来看看复数四则运算的几何意义。
(1)复数的加(减)。两个复数
相加或相减时，实部和虚部分别相加或相减。也就是说，所表示的向量要按照普通的平行四边形法则进行加减运算。为了增加矢量和，我们把的起点放在的终点，然后从起点到终点的矢量是+(图4)。
我们知道复数的模是其向量的长度，但是在一个三角形中，两条边的长度之和不小于第三条边的长度，所以从图4中可以立即得出一个重要的不等式。
流传甚广。
从矢量相加的规律也可以看出，如果平面上两点之和的坐标是和，那么矢量
现在我们来问，如果两点之间的线上有一个小P，它满足条件。
怎么求这个点p的坐标？注意:在这种情况下，我们说P点按比例划分线段。如果P位于线段内，这个比值为正，否则为负。因为
所以，如果我们有它，我们会得到它。如果我们有它，我们会得到它。
当特殊p是线段的中点时，因为，我们有
这是求两点连线中点的公式。
由以上分析，我们还可以得出以下重要结论:平面上三点共线性的充要条件是有三个不全为零的实数L，M，N，这样，
证书。如果共线，则应按一定比例划分的线段，即
生活
这是三个不全是零的实数，还有
现在，另一方面，假设有三个不全是零的实数，我们不妨假设其中有
也就是说，是连接线段的点除以比值l:m，这三个点当然是共线的。
(二)复数的乘(除)法现在我们来看看复数的乘(除)法的几何意义，并设
所以我们有
即当两个复数相乘(相除)时，它们的模数相乘(相除)，幅度相加(相减)。
所以，要做一个矢量，只需要乘以矢量的长度，逆时针旋转矢量一个角度就可以了。
