从这里可以看出，如果惩罚一个矢量Z逆时针(顺时针)转一个角度，只需要把Z乘以(或)。特别的，如果我们想把向量Z向左(右)转一个直角，我们只需要把Z乘以I(或者-i)。
另外我们还看到，为了求向量之间的夹角，只需要做复数的振幅角。
二、几何证明的例子
现在，我们举几个例子来说明如何用上面提到的一些简单概念来证明平面几何题。这里给出的方法都是用复数的代数演算给出的，所以称为解析注释法。你在平面几何课程中学到的方法叫综合法。这里，我们既给出了问题的分析证明，也给出了问题的综合证明。
1.证明三角形的三条中线相交于一点。
设三角形的三个顶点A、B、C的坐标为，则它的三条边的中点L、M、N的坐标为
由于A、G和L共线，所以应该有
从而获得。
把它整理出来
和
但它们不共线，所以要以前面的结论为基础。
从而获得。
将=2/3代入公式(1)，你必须
所以我们可以看到，三角形的任意两条中线相交于此点，即三条中线有一个公共点。
这个问题的综合证明大家都知道，这里就不说了。我们只指出分析方法给出的是三角形的重心坐标。
2.从前有一个海盗，他把抢来的财宝埋在一个岛上，在日记里写下了这样的记录:“××××年××月×日，我在岛岸边的一棵松树P上岸，向左走，碰到一块大石头A，在这里，我向左转了90°，又走了同样长的路，到达岛上的一个点A’。我遇到了一块大石头B，在那里我向右拐了90°，然后走了同样长的路，到达了一个点B’。我把宝藏埋在A’和B’两点连线的中点。”
几千年后，他的后人发现了这本日记，来到了这个岛上。他发现两块石头仍然存在，但是岸边的松树已经不存在了。这个海盗的后代有没有办法再次找到埋藏的宝藏？
为解决问题，我们以A、B两点的直线L为实套，引入一个以直线中点0为原点的坐标系。在这个坐标系中，A的坐标是-1，B的坐标是1，P点的坐标是Z，那么向量
逆时针旋转矢量可以得到矢量，所以
但是这个向量的超点4的坐标是1，所以它的端点A’的坐标是
类似地，顺时针旋转矢量可以得到矢量，所以
这样已知的坐标是1-I (1-Z)。A ‘和B ‘的连接线段中点M的坐标应为
也就是说，不管P的坐标如何，埋宝点M始终是点-i，即以AB为底的等腰直角三角形的顶点。
如果点P在1的另一边，那么M的坐标就是I，因此，只要后来的人以AB为底做一个正方形，宝藏就一定埋在这个正方形的另外两个顶点上。
全面的解决方案。设A’，B’两点线段的中点为M，使PP’，A’A”，B’B”，MM’垂直于A，B两点直线l .因为M是梯形A’A”B”B”的一个腰的A’的中点，M’一定是另一个腰A”B”的中点。另一方面，在直角三角形△PP’B和△BB”B ‘中，因为，∠1=∠2，所以
所以我们有
同理。
既然是A“B”的中点，M’也一定是AB的中点。另一方面，我们有
因此，有
即△MM’A和△MM’B是等腰直角三角形，所以△AMB是等腰直角三角形。可以看出，藏宝点是一个以AB为底的等腰直角三角形的顶点。
3.以平行四边形开口ABCD的各边为一条边，在平行四边形外做一个正方形。这四个正方形的四个圆心依次相连，形成一个正方形。
分析证据方法。平行四边形的四个顶点A、B、C和D的坐标是。第一个音符
但是这两个向量方向相同，长度相等，所以一定有
或者
现在注意，向量是通过顺时针旋转向量得到的，所以
但是这个向量的起点是，所以它的终点是。
正方形AA’BB的中心是对角线A’B的中点，所以它的坐标是
类似地，其他三个正方形的中心是
利用前面的条件
可以马上计算出来
也就是说，线段和具有相同的中点。也就是说，四边形的对角线是等分的。第二，我们有
因此
也就是说互相垂直，看起来一样，所以是正方形。
综合求解，考虑三角和。我们知道
另一方面，我们知道
因此
因此
因此
同理。
然后
因此
同理。
因此，它是方形的。
4.平面上有一个固定的圆K。圆外有一个不动点A，圆上有一个动点B。对于B的每一个位置，我们做一个基于AB的正三角形△ABC。我们问:当B在圆K上运动时，正三角形△ABC的第三个顶点C会划出什么样的轨迹？
