注意，可以基于AB做出两个正三角形。我们只考虑正三角形中的一个。当我们从A到B时，这个正三角形出现在我们的右手边。
为了解决这个问题，我们引入一个以K的中心为原点，以0A线为实轴的坐标系。A在这个坐标系中的坐标是A，如果K的半径是R，那么B的坐标将是。现在注意矢量
向量是顺时针旋转向量得到的，所以向量的起点是A，所以C的坐标应该是
因此
双面取模
也就是说，C到这个点的距离始终是R，所以C的轨迹是一个以R为半径，圆心为圆心的圆。
现在让我们看看轨道的中心在哪里。我们知道
因此
也就是说，轨迹的中心就是逆时针旋转矢量得到的矢量的终点。所以我们要求的描述可以这样做:做一个以0A为底的正三角形，做一个以正三角形的第三个顶点为圆心R为半径的圆。这个圆就是要求的轨迹。
全面的解决方案。取0A为正三角形△OAD。考虑三角形△BAO和△CAD。我们有
另一方面，
因此∠CAD=∠BAO。因此
因此
因此，C位于以D为圆心，R为半径的圆上。
5.设△ABC为任意三角形，以此三角形的各边为底，向外做正三角形。证明这三个正三角形的重心是另一个正三角形的三个顶点。
证，设三角形三个顶点的坐标△ABC为，顺时针旋转矢量得到矢量。因此，如果你记得，有
但是A的坐标是，所以A的坐标是
三角形△AA’B的重心坐标为
同样，另外两个三角形的重心是
这样，就会有
但是
因此，有
请从两侧取模并密封注意。
Delta是一个正三角形。
三、一道有趣的数学竞赛题
以上四个例子，除了第一个例子，一般都属于同一类型，技巧都不算太强。下面这道题是国外的数学竞赛题，我们也是用解析的方法来解。因为这个问题比较难，所以它的技巧性也比较强。标题是这样的:
给定一个半径为1的圆和平面上的其他N个点(圆内、圆外或圆上)，证明了可以在圆上找到一个点M，使得
为了证明这个事实，我们先证明一个公式，比如说
那么对于任何整数
事实上，如果
但是
因此，有
也就是
现在我们在平面上引入一个以给定圆心为原点的坐标系，设
因为z在单位圆上，上面的公式可以写成
在…之中
现在我们在平面上引入一个以给定圆心为原点的坐标系，设
因为z在单位圆上，上面的公式可以写成
在…之中
我们的任务是证明在单位圆上可以找到一个点Z，为此，我们可以作一个正的n+1多边形内接在单位圆上，使它的一个顶点为1。如您所愿。
那么这个正n+1多边形的顶点将是
我们证明在n+1个点中一定有一个点，它满足条件。
否则，我们会有
但是
两边加，注意。
得到
取两边的模，利用上面提到的不等式得到
这就导致了一个矛盾。这个矛盾说明一定有一个K使得
从这个问题的解，我们还可以得出下面这个有趣的定理，这个定理在高等数学中有非常重要的促进作用。
定理。如果多项式
乘以，那么P(z)与任意圆中的正N边形相连的每个固定点的平均值等于它在圆心处的值。(编者注:在《复杂分析:可视化方法》中，第92页有一个专门的章节来讨论这一点)
设圆心为A，圆的半径为r，首先我们证明多项式P(z)可以改写为
的形式。这可以用数学归纳法来证明。当m=0时，这是显而易见的。如果多项式的次数不大于k的事实成立，那么对于任意k+1次多项式
我们有
其中Q(z)是次数不大于k的多项式。根据归纳假设
因此
这证明了我们的论断。注意，当P(z)以(1)的形式书写时，其在圆心处的值为
现在假设与正N多边形内接的圆的顶点是
那么它的所有顶点都将是
求P(z)在这n点的平均值，只需要求(1)中每一项在这n点的平均值。注意当时第k项的平均值是
=0
而零阶项的平均值仍然是，所以有
