“记忆型”质数让数学迷欲罢不能
从回文数到Smarandache数，数学迷们探索特殊质数，揭示它们背后的魅力与挑战，展示人类对数字之美的无尽追求。
关于质数的一个有趣轶事涉及到20世纪最杰出的数学家之一Alexander Grothendieck。据说，有一次在对话中，他被问到一个质数的名字。质数是数论的“原子”，只能被1和自身整除，并吸引了人类数千年的关注。而Grothendieck的回答是“57”，但57实际上能被3整除，并非质数。这一回答让“57”在学术圈中成了一个带有调侃性质的“质数”典故。
另一场对话则更具启发性。数学家Neil Sloane一次在餐桌上听到Armand Borel和已故的Freeman Dyson讨论质数。Borel让Dyson说出一个质数，Dyson随即给出了“231−1231−1”这个只有1和自身整除的数。但Borel并不满足，他要求Dyson背出一个大质数的所有数字。Dyson沉默片刻后，Sloane机智地插话道：“1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1。”
这组数字1234567891098765432112345678910987654321确实是一个质数，由20位数字组成，且非常容易记住：从1数到10再倒数回1。然而，这种从1开始递增到某个数字n再递减回来的回文形式是否还能生成其他质数却尚未明确。Sloane称之为“记忆型”质数，并设计了一种通用表达式：123...(n−1)n(n−1)...321123...(n−1)n(n−1)...321。对于n=10，这一数为质数。但对于其他n值是否成立，数学家们展开了热烈讨论。
1964年，Sloane创建了一个数列数据库，这成为了后来在线整数数列百科全书(OEIS)的基础。OEIS网站汇集了各类数列信息，鼓励专家交流，Sloane本人也热衷于发起研究话题。他的在线活动推动了对记忆型质数的研究，并引发了一场对类似特殊质数的追逐。
记忆型质数是否无限存在？
2015年，印度工程师Shyam Sunder Gupta宣布发现n=2446时的记忆型质数。这一数值有17350位，但他并未在学术期刊上发表，而是通过一个数论研究邮件列表分享了这一结果。Gupta解释，这类易记的大质数对加密通信具有重要意义，因而激发了他的热情。
截至目前，数学家已验证到n=60000，除了n=10和2446，没有发现其他记忆型质数。然而，一些专家推测这类质数应该是无限的。虽然缺乏确凿证明，但基于质数在数轴上随机分布的“启发式”推测，这类数有可能存在，只是非常稀少。Gupta坚信，这类回文型质数虽罕见，却不会止于此。
其他记忆型质数的探索
2015年9月，Sloane向数论界发出了一项新挑战：寻找另一种记忆型质数，即仅由递增数字构成的数列，例如123...(n−2)(n−1)n123...(n−2)(n−1)n。由于质数不能以偶数或5结尾，这一挑战排除了60%的可能性。即便如此，基于启发式推测，这类质数也可能是无限的。
然而，初步搜索并未有突破。在n达到106106之前，这类质数仍未被发现。随后，Sloane联系了“大型梅森质数搜索”团队，请求协助寻找这种新类型的质数，但项目最终因缺乏成果而中止。
尽管如此，Sloane依然鼓励人们保持好奇心，并继续探索。例如，他曾激励计算生物学家Serge Batalov寻找另一种形式的Smarandache质数——数字从大到小递减排列的回文型质数。截至目前，仅发现两例，而Batalov也未能找到更多。
Gupta在这一领域的贡献同样显著，但尚未取得新突破。2023年，软件开发者Tyler Busby指出，第三个此类质数的n值必须超过84300，这无疑增加了寻找的难度。
持续的热情
目前，这些探索主要由业余数学爱好者推动，因为此类质数并未带来直接的数学突破。但Sloane并未放弃，这位85岁的数学家依然通过各种方式传播对数学的热爱，并激励更多人参与其中。正如Gupta所言：“我仍在寻找各种易记的大质数，并偶尔有所发现。”
本文译自 Scientific American，由 BALI 编辑发布。
